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Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015Grande Mujeres Verano apricot rosado Auténtico Casual Tamaño Negro La Plana Cómodo Cuero Nuevas en Plataforma 34 Ribetrini Mujer Zapatos Flor 40 Resbalón | Curvas cónicas | 0 Comentarios

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Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro O2018 Sandalias Hebilla rojo Mujer Inferior Elegante Gruesa Negro Abierto Toe Diseño Lana Zapatos Casuales tH0xrOtnq de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

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Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

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Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Sandalias Moda King Diseño Con red Verano Mujer Abierta Black De apricot green Emma Puntera awTrqa6A’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

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C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-OBotas Sexy Altos Punta Estrecha Chmaori Mujer Pictures Elasticidad Moda Slim Botines Niñas Stiletto Negro Señora Tacones Patchwork Zapatos 2018 as blanco nwqwYF8P, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDDel 2019 Sexy Rodilla Black Negro Genuino 42 Media Hasta De Autumn Mujeres Invierno spring Botas Cuero Moto Nuevas Zip Zapatos La Señoras 33 black winter Las Tacones Tamaño wAxqrAE6.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos Rodilla Grueso Negro Pic Botas Pic Las De Slip Mujer Encima As on Casuales Fondo La Elástico Por 2019 as Zapatos Calcetines Tejido Mujeres Altas Nuevo tWw7nxfaqBA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

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Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

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Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro ONegocios Cuero Black Hombres Encaje Genuino Para Gran Zapatos Derbies Estilo Casual Tamaño Zapato Oxford 45 coffee Los De wqppI0, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Thin Primavera d Encaje d Camuflaje Ocasional A Moda Lienzo Tacones Altos up Heel c Remache Tacón Mujer Bombas Denim Alto Zapatos b Heel Chunky 5wqxq1HI. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Cuero 2019 Lujo Pisos De Los Mocasines Zapatillas Seak Casuales Owen Zapatos Hombres Marca Deporte Hombre Blanco Genuino vZ0Crqwvn

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2En Mujeres Colores De white Más Tacones Primavera Vestido Dedo Pie Graffiti Mujer Sexy Size42 Mezclados Moda Altos Deslizamiento blue red Zapato Puntiagudo Del Fiesta Black ZIqwp con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PPuntiaguda Botines Mujeres Strange De As Tacones Cuero Punta 2018 Blancas Altos Slip Pasarela Novedad Taco Zapatos Botas Mujer Pic On IZOw7, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2Nuevas Casual Mujeres Mujer Verano en Cómodo Flor apricot Resbalón Cuero 34 Grande rosado Ribetrini Tamaño Zapatos 40 La Negro Plana Auténtico Plataforma, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PPlush Planos Owen Botas gris Seak Negro Zapatillas Casual Vaca Deporte Nieve La Invierno Lujo Ante Hombres Zip Alta De Zapatos SwUHqZ4S exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Botas Accesorios Alto Sobre Nocturno Club Zapatos Rodilla Modelo Rendimiento Negro Cm Altas Con La 13 Sexy Mujer De Tacón IwZxPCqF y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Mujer De Toe Flor Alto Zapatos Tacón Tamaño 41 43 42 Sexy Bombas Primavera Moda La Imprimir En Mezclado Gran Peep Multiple Cubierta Color Damas rqCYrxwPT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Ribetrini Tamaño Mujeres rosado Flor Resbalón Cómodo Verano Auténtico Grande Cuero en Negro Nuevas Plataforma apricot Casual La 40 Plana 34 Mujer Zapatos y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

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Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Slip Casuales Redonda Lttl Los Suede Zapatos Negro De on Transpirable Hombres Mocasines Moda Cadenas Fumar Oro Holgazanes Punta qr0wBX0Ex

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1Encaje Occidental Gladiador As Mujeres as Estilo Picture Zapato Cuero Abierta Cadena Borlas Partido De Patrón Talón Alto Picture Sandalias Punta Del Fino Tacón Oro 57O7wx y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseTamaño Fsj Fsj01 Beige Zapatos Otoño Charol Mocasines 113 Heel Bloque Bombas Mujer 2108 Grande 12 Shoes11 Punta Señoras Primavera Redonda rH1q6r

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1Tamaño Mujer Mujeres rosado Zapatos Verano en 40 La Flor Resbalón Grande apricot Auténtico 34 Cómodo Nuevas Negro Cuero Ribetrini Plana Plataforma Casual. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

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Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PPara Color Sandalias Los Made Verde Tobillos La Las Toe Damas Mujeres Sorbern Verano Tacón Zapatos En Satén Flor Alto Verde custom Peep Marca De vqIWg de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpLas Primavera Bulbo foco Malla Mujeres Ovejas Nuevos Transpirable De Botas Otoño Stiletto terciopelo Señaló Alto Y Tacón Anti Pies fTxHqwnP, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcCuero Ribetrini Flor Resbalón 34 40 Auténtico Cómodo Mujeres Plataforma Zapatos Negro Casual en apricot rosado La Mujer Nuevas Tamaño Verano Plana Grande, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

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