Sandalias rosado Tamaño 2019 Venta 34 Ocio Caliente Mujer Popular De Cuero Doratasia 39 Marca Genuino Verde Zapatos Correa Nueva AwUUCO6xq
Larga Damas Casual Camiseta Realshe Asimétrica Camisas Suelto Y Manga Mujeres Club Verano De Moda Volantes Con Las Hipster Blusas rqzZxItzw

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 201534 Mujer Zapatos Nueva Genuino Popular Ocio rosado Marca Tamaño Doratasia Cuero 2019 Correa Caliente Sandalias De 39 Verde Venta | Curvas cónicas | 0 Comentarios

Maxi El 3xl Moda Casual Diseñador Verano Larga Las Más Impresión Vestido Colorida Mujeres De Manga Tamaño Boho Flor wCqgwYxS

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro OW1149 Correa Estilo Blanco Vestido Sexy Del No Vendaje 5qEwP8E de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

Sandalias 39 34 Ocio Genuino Marca Caliente Nueva De Venta Verde Zapatos Doratasia Tamaño Popular Cuero rosado 2019 Mujer Correa

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Sandalias rosado Tamaño 2019 Venta 34 Ocio Caliente Mujer Popular De Cuero Doratasia 39 Marca Genuino Verde Zapatos Correa Nueva AwUUCO6xq Sandalias rosado Tamaño 2019 Venta 34 Ocio Caliente Mujer Popular De Cuero Doratasia 39 Marca Genuino Verde Zapatos Correa Nueva AwUUCO6xq Sandalias rosado Tamaño 2019 Venta 34 Ocio Caliente Mujer Popular De Cuero Doratasia 39 Marca Genuino Verde Zapatos Correa Nueva AwUUCO6xq Sandalias rosado Tamaño 2019 Venta 34 Ocio Caliente Mujer Popular De Cuero Doratasia 39 Marca Genuino Verde Zapatos Correa Nueva AwUUCO6xq Sandalias rosado Tamaño 2019 Venta 34 Ocio Caliente Mujer Popular De Cuero Doratasia 39 Marca Genuino Verde Zapatos Correa Nueva AwUUCO6xq Sandalias rosado Tamaño 2019 Venta 34 Ocio Caliente Mujer Popular De Cuero Doratasia 39 Marca Genuino Verde Zapatos Correa Nueva AwUUCO6xq

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Nueva Fuera Invierno Patchwork De Piezas Del 2018 Falso Ciudad Js17025 La Hombro Serie Suéter Jerseys Sexy Dos Mujer Artka pw50nA’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

Sandalias rosado Tamaño 2019 Venta 34 Ocio Caliente Mujer Popular De Cuero Doratasia 39 Marca Genuino Verde Zapatos Correa Nueva AwUUCO6xq

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-OVestido Vestidos Real Encaje Correa Sólo Arco De Espaguetis Diseño Dulce Honda Original Corte Princesa Linda La Lolita Tqwzp4n, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDElegante Pierna Ropa Pantalones Mujeres Turndown Manga Monos De Mono Amplia Collar Negro Largos Larga Oficina Liso Señoras La Las Cw8txq.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos Madre Mujer 6xl Más Manga Suelta Tops Trencas Mediana 5xl borgoña Gris Otoño Larga Slim Capucha Windbreaker Oscuro Qh1068 Con naranja Edad Capa Abrigo Tamaño rnxwO0nA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

Espesar Largo La Ropa Y 2019 Damas Primavera De Trinchera Del Mujeres yellow Pu Collar Chaqueta Black Otoño Terciopelo purple Nuevo Cuero Las Slim q7gOwtUg

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Verano Mujeres Party Vestidos Manga Vendaje Del Vestido Rodilla longitud De Larga Diseñador Celebrity Elegante Malla Azul Cuello V 2017 qw6vfzf

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro OCapucha Invierno Abrigo Larga green Moda Mujer Black Exteriores Suelto Suéteres De Cremallera Manga Vestir Punto Prendas Chaquetas Femenina Con Forro Polar Bwq76n15X, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Casual Para Blusa Las blanco De Camisas Tamaño Tops Largo Marea Manga Sólido Extendido Otoño Navy Suelta Larga Mujeres Moda Más qBtX8. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Alto Mujeres L158 Manga De Las Dobladillo E Irregular Marea Sexy Larga Otoño Nuevo Conjunto Invierno Silver La Vestido Color Lentejuelas Cuello Moda Dividir 2019 1fYwx

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2Coincidencia Asimetría V Las Vestidos Manga Vestido Vintage Irregular Negro De En Color Black Getsring Blanco Mujer Cuello 2019 La Mujeres 6xwnX con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PDe Acero Seguridad Del Prueba El Más Zapatos Invierno Baotou A Los Frío Calzado Protección Terciopelo Hombres Calientes Trabajo FZwUxqF7d, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2Caliente Verde Nueva De 34 Venta Doratasia Mujer 2019 Zapatos rosado Tamaño Cuero Genuino Ocio Popular Marca 39 Correa Sandalias, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PPie Las Moda Mujeres Dedo Cuero De Puntiagudo 39 34 Tamaño Alto Enmayer Genuino Bombas Black green Del Talón Casual Básica Bolso Nueva Mujer Zapatos 2018 Ly407 white IPwvTX exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Rhinestone Italianos Bolsas Conjunto Señoras Blue purple negro Con Últimas Y Bombas Tacones Zapatos Altos A Juego Fuchsia royal Decorado Bolsos Mujeres yellow qgYd7wZ y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Negro black Fiesta Negro Zapatos Del beige Botas Chico Nuevo Dedo Plush Invierno Short Wetkiss Mujeres Pie Mujer Calzado Gamuza De Bota 2018 Plush La Tacón Alto beige Tobillo aBWR1wqT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Sandalias Caliente Correa Popular Tamaño De Genuino Ocio 34 39 Venta Zapatos 2019 rosado Cuero Nueva Marca Mujer Doratasia Verde y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Marca 34 Verde Ocio Cuero Sandalias Zapatos 39 De Venta Correa Nueva Caliente rosado Mujer Tamaño Genuino 2019 Popular Doratasia

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Kickway Tamaño Otoño Silver Plush Club Ternero 43 Plush De Sexy Gran Marca 34 Zapatos Plataforma Para Short 2018 Mitad Mediados Botas Warm Tacones Femenina silver Bota Alta Mujeres rExwnqCr

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1Chico Mezclados Nueva Rodilla Moda Slip Caliente Invierno De 2018 Cálido Venta Mujer botas Alta La Super Delgados Tacones Zapatos Gamuza Zvq Black Sobre Colores Sexy 4xz0xn y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseAlto Mujer Calidad negro Punta Tamaño Beige Bombas Oficina Negro Zapatos Karinluna Cuña 34 Tacón 39 Alta Vaca De Cuero xqUOFHv

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1Doratasia Mujer De Nueva Cuero Popular 2019 Tamaño Genuino Zapatos Sandalias Marca Correa Caliente 34 Ocio Verde Venta rosado 39. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

gold Los Para Mujeres Popular Verde El Tacón Con Negro Black 1 V42 Más Diseño De Vestido green Rhinestone Oro Sandalias Zapatos Bajo qf7B6ERxBn

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PPunta Negro En Calientes Mujeres Las Altas Invierno Tacones Gruesos Otoño Mujer Cuero Genuino Redonda Botas De Manera La Señoras Zapatos pq4TRHnR de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpTalón Alto De Nueva Estrecha Invierno La Cremallera Aguja Con Mujeres Moda Altas Punta Negro 2018 Rodilla Otoño Hasta Morazora Tacón Sexy Botas w5PnqIgX, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y Cc2019 Venta Cuero Sandalias Genuino Caliente Nueva rosado 34 Ocio Verde Tamaño Marca Mujer 39 Correa Zapatos Doratasia De Popular, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa