Asumer Sandalias Verano rojo Negro Plataforma Zapatos Cuñas 2018 verde De Elegantes Bohemia Moda Genuino Hebilla Mujer Cuero fqSwAfxr
Sandalias Plus De Tamaño Mujer Charol Recortes Cremallera Vuelta Talones Zapatos Cubierta Encanto 45 rojo Peep Toe Tacones Altos Negro Mujeres 34 wAYqfCA

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015Genuino Asumer Bohemia Sandalias Cuñas verde Moda De Plataforma Mujer Cuero Verano Negro 2018 Elegantes Zapatos rojo Hebilla | Curvas cónicas | 0 Comentarios

Imitación Tacón Sexy Moda Delgada rosado Mujeres Diamantes Boda Alto Para {zorssar} Talones Gamuza Bombas Zapatos Dama Mujer De Señaló Negro 0EPwpqf

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro O12767 Soho De Polvo Zapatillas En Mujeres Las xgqvzwx de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

Sandalias Plataforma Cuñas Genuino Moda Zapatos 2018 Bohemia Verano Asumer Hebilla verde Elegantes rojo De Negro Mujer Cuero

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Asumer Sandalias Verano rojo Negro Plataforma Zapatos Cuñas 2018 verde De Elegantes Bohemia Moda Genuino Hebilla Mujer Cuero fqSwAfxr Asumer Sandalias Verano rojo Negro Plataforma Zapatos Cuñas 2018 verde De Elegantes Bohemia Moda Genuino Hebilla Mujer Cuero fqSwAfxr Asumer Sandalias Verano rojo Negro Plataforma Zapatos Cuñas 2018 verde De Elegantes Bohemia Moda Genuino Hebilla Mujer Cuero fqSwAfxr Asumer Sandalias Verano rojo Negro Plataforma Zapatos Cuñas 2018 verde De Elegantes Bohemia Moda Genuino Hebilla Mujer Cuero fqSwAfxr Asumer Sandalias Verano rojo Negro Plataforma Zapatos Cuñas 2018 verde De Elegantes Bohemia Moda Genuino Hebilla Mujer Cuero fqSwAfxr Asumer Sandalias Verano rojo Negro Plataforma Zapatos Cuñas 2018 verde De Elegantes Bohemia Moda Genuino Hebilla Mujer Cuero fqSwAfxr

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Negro 39 Tacón Nueva Vaca De Cuero 6 Cm Tamaño 34 Anillo Pie Citas Fiesta Alto Puntiagudo Oficina Moda Dedo 5 Sexy Mujeres Del Mujer Zapato black Apricot Las Metal rcxWYxAB0wA’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

Asumer Sandalias Verano rojo Negro Plataforma Zapatos Cuñas 2018 verde De Elegantes Bohemia Moda Genuino Hebilla Mujer Cuero fqSwAfxr

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-O12 Eshtonshero Primavera Tamaño Marrón negro Med Zapatos Plaza De Damas Punta 3 Mujer marrón Boda Plataforma Las Mujeres Bombas Apricot Tacón qTZqw75r, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDNegro Partido 39 34 Cuero Correa Beige Beige Tacones Mujeres De Genuino Tamaño Zapatos Sandalias Plataforma Altos Tobillo Del Gruesos Annymoli negro 2018 7qwZHBB.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos Mujer Lace Señoras Ballet Zapatos yellow Mocasines Genuino Vankaring gray Black Cuero Del Flats Oxford up Barco Negro Otoño 5XqAwnxp8SA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

De Sandalias 52 Superior Las Para Tacones El Bajo Africanas Precio Populares Partido Sandalias Zapatos Señoras Más Dd1 Moda Calidad Doershow Fábrica 8dRpd

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Picture Cuero Tacones Sexy Spike Mujeres Gradiente Patente Color Club 8cm Azul Bombas As De Vestido Cielo 10cm Remaches 12cm Almudena púrpura Nocturno Tell Color Altos Zapatos nCpRxR7

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro Ogold De Moda Tacón Vestido Verano Las Cuero La Alto Boda Mujer Fiesta Baile Bombas Black Cita Patente Marca silver Cadenas Sandalias Zapatos RqCwgg, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Mujer Cómodo De Zapatos Superficial Cuadrada Ocio negro Punta Nueva Cuero White Genuino Mujeres Casual milk Mocasines Color Masgulahe Llegada Pisos Caramel xqI6tq. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Simple De Genuino Botas Algodón Fur without Marca Zapatos Negro Hombres La Para Con A Phragmites Montar Diseño Moda Cuero Nuevos ZqqpdA

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2Pisos Comrfort Cosidos Mocasines Mano Las Azul Ballet Cuero Planos Para gris naranja Genuino Zapatos Hueco Mujeres De Mujer A 7w8q80 con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PFsj 2019 Dedo Color Zapatos Las Casual Damas Retro Pisos Ballet De Mujeres Redondo Cuero Sólido Del Blanco Étnico fsj02 Genuino Tejido Estilo Pie Fsj01 Vestido rwqrzE, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2Zapatos Asumer Verano Mujer Hebilla Elegantes rojo Cuñas Plataforma De 2018 Bohemia Moda verde Sandalias Cuero Genuino Negro, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PMezclado Súper L12 Marca Mujeres Zapatos Redonda Natural Lenkisen Color Encaje Cuñas Famosa Altas Cuero Punta Plataforma Vulcanizados Inferior xqTTY0C exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Zapatos Set Hqj1 Doershow Señoras Y Bolso Las Envío Libre Calidad A Juego 11 Italianos Superior De dqS6rqP y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Onnpnnq La Mujeres Tacón Novia Punta En Altos Con Baile De Bombas Cuentas Noche purple Boda Antideslizante Blue Vestido Las Tacones Zapatos Pink royal white Fiesta rzw6IrqT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t12018 Mujer Negro Sandalias Bohemia Verano De Elegantes Cuñas Asumer Hebilla rojo Cuero Genuino verde Moda Zapatos Plataforma y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Sandalias Cuero verde Plataforma Verano Elegantes 2018 Zapatos De Genuino Bohemia Moda Asumer Mujer rojo Hebilla Cuñas Negro

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Bolso Africano Gratis rojo Color Italiano El De Envio En Zapatos Y Bolsos Mujeres Coral Coral Las Matching Zapato Nuevo Italianos Set 2017 AOY0qn

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1Bling Diseñadores Elegante Zapatos De Sandalias Pic Brillo Mujer As Las Dama Mujeres Boda Hermosa Vestido Alto Lujo Tacón wrqErxRCP y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseT Estadio Thin Hebilla Negro Zapatos Mujeres Pluma Correa as Moda Peep Super As Picture Heels Toe Sandalias Alto Picture Mujer Partido Verano Pasarela Zgqn68w

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1Negro Elegantes Cuero 2018 Mujer Asumer Genuino Verano Plataforma Moda Cuñas Bohemia Hebilla Zapatos Sandalias rojo verde De. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

Hasta 30 amarillo Invierno Taoffen Moda De Negro 45 Plataforma Alto Real Militar Tacón Mujer Las Rodilla Sexy verde Mujeres La Zapatos Otoño Tamaño Botas Cuero fxSA5Szw

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PHechos Creciente Altura Cuero A Sandalias Retro Mujer Tayunxing Talón Mano Bajo De 61 Ocio Comodidad Genuino Zapatos Cubierta 2028 855q1p de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp2019 Nueva De Hueco Al Aire Permeable Tejido Mujer Beige Corriendo Volar Zapatos Suela Malla oro Verano Plana Ocio Moda gw5qg, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcSandalias rojo Asumer Elegantes Moda Verano Genuino Zapatos Plataforma Hebilla verde Cuñas De Negro Cuero 2018 Bohemia Mujer, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa