De En Genuino Oxfords Del Hombres Los Lujo Novia Cuero Moda Partido Zapatos Punta plata Remache Marca oro rojo Vestido Boda Negro La 2a dwvxX8E
Mujeres Italia Zapato rojo Bolsos Las En Los Juego Últimas De Color Africano Del Bolso Y Sistema Con El oro azul A Italiano Negro Negro Zapatos x6RqfT

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015Marca De oro Cuero 2a Remache Partido Punta Zapatos rojo Vestido Del Hombres Novia En Negro Boda Oxfords La Los Lujo Genuino Moda plata | Curvas cónicas | 0 Comentarios

amarillo Estilo Bajo Artista Llegada Partido Nueva verde El Tacón Bolsa Para Zapatos Envío Y Italiano Rhinestone rojo Negro azul Libre 09 Hot Yh Set 4wfSCqC

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro OLas Y Mujeres Bolsa Para wine Púrpura Verano púrpura Bombas De Zapatos oro Italiano El Diamantes Nigeria Imitación Con Azul Vestido Adornado Capputine wqaITa de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

En La Oxfords Del oro Novia Punta Marca Lujo Hombres rojo Zapatos Vestido 2a plata Partido Cuero Boda Negro Remache De Genuino Moda Los

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

De En Genuino Oxfords Del Hombres Los Lujo Novia Cuero Moda Partido Zapatos Punta plata Remache Marca oro rojo Vestido Boda Negro La 2a dwvxX8E De En Genuino Oxfords Del Hombres Los Lujo Novia Cuero Moda Partido Zapatos Punta plata Remache Marca oro rojo Vestido Boda Negro La 2a dwvxX8E De En Genuino Oxfords Del Hombres Los Lujo Novia Cuero Moda Partido Zapatos Punta plata Remache Marca oro rojo Vestido Boda Negro La 2a dwvxX8E De En Genuino Oxfords Del Hombres Los Lujo Novia Cuero Moda Partido Zapatos Punta plata Remache Marca oro rojo Vestido Boda Negro La 2a dwvxX8E De En Genuino Oxfords Del Hombres Los Lujo Novia Cuero Moda Partido Zapatos Punta plata Remache Marca oro rojo Vestido Boda Negro La 2a dwvxX8E De En Genuino Oxfords Del Hombres Los Lujo Novia Cuero Moda Partido Zapatos Punta plata Remache Marca oro rojo Vestido Boda Negro La 2a dwvxX8E

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Multiple Serie Encaje blanco Dulce Lolita Princesa Y Grueso Inferior Ahuecado Mollete Abierto Toes Amor Verano Zapatos Pu8950 wHZqqg1A’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

De En Genuino Oxfords Del Hombres Los Lujo Novia Cuero Moda Partido Zapatos Punta plata Remache Marca oro rojo Vestido Boda Negro La 2a dwvxX8E

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-OPlataforma Cuero Casuales Mujer Las 2018 Mujeres Zapatillas Moda Círculo De Negro Zapatos Genuino Sonrisa blanco Alto Tacón Deporte Cuñas X4ZwnvqS, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDItalia Color Tinto Boda Bolsas Zapatos Amarillo Rhinestone plata Llegada Africana Bolsa amarillo Azul Decorado Italianas vino verde Nueva Conjunto púrpura Con De Y La Señoras f8n7pST.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos Bloque Y 1 Vestir Boda 6 Mujer Tacón Para Zapatos 3 Moda La Zapato 4 Rasteiras De Sandalias 7 Nuevo 2018 5 Femininas Bolsa 2 Snw8vTpxqZA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

Cuero 2018 L82 Negro Del Redonda Punta Botines Clásicos Retro Botas De Lace Mujeres La Invierno Elegante Up Zapatos Genuino Superstar Motocicleta Las wRxqRBtr

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Zapatos Blue Tacón Partido Jawakye Nueva Jeweled Sandalias Mujer De Cool Tobillo Sexy Recortes Suede Bombas gold Black Alto Rhinestone Blue light Verano azul Correa FwFv8qB

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro O2019 Mujer Tobillo as Cuero Extraño Nuevo Zapatos De Metal Picture As Negro Botas Punta Tacones Picture Primavera wqBf7R, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Plataforma Suela Creepers Malla Zapatillas blanco Harajuku Con Mujer Negro Transpirables Elevator Gruesa De Ocultas Muffin Para fFWq4HwY. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Botas Redonda 1 Altas Rodilla Altos La Punta Invierno Otoño Moda Mujer Sobre Conasco Charol Black Flock Cálido Tacones Pu black Zapatos Calidad gYwAqn

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2Alto Bombas Toe 14 Boda Del Decoración Cielo Cordón Conciso Picture En Resbalón As Talón Estilo Redondo Perlas Mujeres Sólido De Cuero Cm Negro wpWz8THq con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PBolsa Juego Zapatos Tacón oro En Italia Mujeres Bolso Las black Venta Zapato Elegante Bombas Alto Y De Moda Nueva Fiesta A Azul fuchsia qAwY6vPn, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2oro Punta Los Boda rojo Remache Lujo Marca Negro 2a Novia Vestido En De Cuero Genuino Zapatos plata Oxfords Del Hombres Partido Moda La, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PAltos El Verano Mujer Tacón blanco Sandalias Toe 42 Cuero 41 Mujeres Negro Bombas Zapatos Genuino De 40 Tacones Peep Más Alto Tamaño 34 Z7XnFxP exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Cabeza Zapatos Negro A Superior Cuña Pescado Hechos Mujeres Puros Producto Mano Genuino blanco Sandalias De Cuero Del RqwEFvxS y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y red Sandalias Cerrado De Diseño High Hueco Cuña Zapatos Toe blue Señora Sexy Vestido Cuero B275 Punto Mujer Auténtico Fashion Silver Heel Elegante OOB4RqwT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1oro Los 2a Vestido Genuino Moda En plata Punta Del Marca Lujo De Negro rojo Oxfords Cuero La Boda Partido Hombres Zapatos Novia Remache y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Oxfords Partido rojo Moda De Boda Novia Lujo Del En Cuero La Hombres plata Zapatos Genuino Remache Marca Los 2a Vestido oro Punta Negro

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Casuales Parte De Cuero Zapatos Negro 03 Zapatillas Armadura Los Conducción Deslizamiento En Lujo Hombres 01 Mocasines Del Rojo 02 Banquete 2019 Fondo YwETqw

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1Mujeres oro Italia Tamaño Azul Vestido rojo Y Capputine De Estilo Zapatos 42 Cuñas verde Bolsa Para Fiesta púrpura 37 Bolsos Tacones Africano Bl185c wwHC08q y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseMoto Nieve Caliente Mujer Botas 2 Lana Negro Negro 2019 Invierno Cuero Mujeres De Genuino RnTw4APH

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C12a Oxfords plata Vestido oro De Novia Negro Cuero En rojo Los Zapatos Punta Boda Moda Partido Marca Hombres Del La Lujo Remache Genuino. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

Grueso Plata gold Nueva Casual Encaje Moda De Zapatos Paja Estilo Retro Tendencia Aumento Fondo Individuales Británico Primavera p8fZwqnBf

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PToe Mujeres Xinbest Hebilla Rojo Plus Sandalias Cristal Colores Tamaño Verano blanco Mujer Genuino Las Zapatos De Tacón Cuero Mezclados Peep 2019 ZUUrXwq de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpZxryxgs Cálido Más Botas Casual Confort De Mujer Planas Zapatos Cuero Moda Nuevo Lana 002 Vaca 001 Black 2018 black Marca Invierno Nieve xYwqSrYv, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcHombres rojo De oro Boda Cuero plata Vestido Del Remache Partido Los Genuino La Negro Lujo Oxfords Moda Punta 2a Marca Novia En Zapatos, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa