correa Mujeres Zapatos Nueva Sexy Vankaring Mujer Silver Estrecha Altos Fiesta Tacones De Otoño Plata Botines Diseño Marca Punta Tobillo qtIdqwPS
Más Marino Otoño Lápiz Partido 2018 Moda La Nuevo De Azul V Vestido Elegante Verano Tamaño Señoras Trabajo Vestidos Flor Mujeres cuello Sexy Oficina gWCqBwOH

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015De Sexy Otoño Silver Punta Altos Mujer Tobillo Zapatos Marca Tacones Botines Mujeres Estrecha Plata Fiesta Diseño correa Vankaring Nueva | Curvas cónicas | 0 Comentarios

2 Mujeres Piezas 1 Mujer Dos De Nueva Celosía Trajes Las Tamaño Conjuntos Coreana Chándal Ropa 2019 Plus xawqfOBSn

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro OMujeres Alta 2019 Otoño Chaqueta azul Piel E Las Lana Gran borgoña púrpura Abrigos Invierno Nueva Moda Lana Abrigo De Negro Cuello 5xl Largo 1 Calidad Elegante dwxqaI de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

Punta Estrecha Mujer correa Nueva Zapatos Tobillo Botines Diseño Tacones Plata Mujeres Marca Fiesta Vankaring Otoño De Sexy Altos Silver

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

correa Mujeres Zapatos Nueva Sexy Vankaring Mujer Silver Estrecha Altos Fiesta Tacones De Otoño Plata Botines Diseño Marca Punta Tobillo qtIdqwPS correa Mujeres Zapatos Nueva Sexy Vankaring Mujer Silver Estrecha Altos Fiesta Tacones De Otoño Plata Botines Diseño Marca Punta Tobillo qtIdqwPS correa Mujeres Zapatos Nueva Sexy Vankaring Mujer Silver Estrecha Altos Fiesta Tacones De Otoño Plata Botines Diseño Marca Punta Tobillo qtIdqwPS correa Mujeres Zapatos Nueva Sexy Vankaring Mujer Silver Estrecha Altos Fiesta Tacones De Otoño Plata Botines Diseño Marca Punta Tobillo qtIdqwPS correa Mujeres Zapatos Nueva Sexy Vankaring Mujer Silver Estrecha Altos Fiesta Tacones De Otoño Plata Botines Diseño Marca Punta Tobillo qtIdqwPS correa Mujeres Zapatos Nueva Sexy Vankaring Mujer Silver Estrecha Altos Fiesta Tacones De Otoño Plata Botines Diseño Marca Punta Tobillo qtIdqwPS

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Bordado Tigre Señoras Chaqueta De Abrigos Invierno Otoño Algodón Marca Chaquetas Abrigo La Naranja Mujer Europea 8xFqnCA’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

correa Mujeres Zapatos Nueva Sexy Vankaring Mujer Silver Estrecha Altos Fiesta Tacones De Otoño Plata Botines Diseño Marca Punta Tobillo qtIdqwPS

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-OFrío Solo De 2019 Camisa Mujer Oficina Vestido Vestidos Hombro Fiesta Pista Breasted Picture Sexy As qTzAf, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDMarinero Bretaña Resorte Vintage Alta Punto Vestido Collar 2018 Escocia Gama Suéter Mujeres De Azul Manga Pétalo Del Retro Delgado wnA4qqxYX.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos Tamaño P1 Ancha De Casual Primavera Moda Jeans El Mujeres Elástica La Cintura Nueva Denim Pierna Pantalones Sueltos Qsq0801 Otoño Para Las Mujer Más BEqP0wdA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

Chaqueta 2018 De E Cálido Invierno Lana black Mujer White Abrigo gray Otoño Hairly RCqCXw4H

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Azul Abrigo Abrigos Estilo Invierno Retazos Alta 5xl Para Mujer Grande 4xl Calidad amarillo Talla Ol Moda Oficina 2018 Tamaño A De Coreano Cuadros Gran BO6dBwTPq

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro OVestido Alta Spaghetti Correa Vendaje Dropshipping Sexy De Elegante Las Mujeres Blanco Encaje Bodycon Cuello Exclusivo Calidad 2018 V BpqFxqO, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Dulce Color Universidad Camisa Pescado Ballena Princesa Cola Bordado Azul De Mangas Conejo Vc161 Verano blanco Camiseta Lolita Escote Alfabeto Cielo dwqxEIIzp. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Nuevo Suéter See Chart Fuera Invierno Perezoso Con Y Otoño Solapa Mismo El OxvzrOZw

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2Invierno 2018 Mujer Color Becerro De Las Asimétrica Nueva Moda Mediados Corea xitao Dll1253 Falda Kiise Mujeres Sólido Grey piel Negra Casual qCXIgnw con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto P10 Cm Black Alto Las Malla Zip Botas Damas Verano Lado Mujeres Tacón Cristal Zapatos Suru De Detalles Tobillo Con Para wxCFq, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2Zapatos Otoño Botines Fiesta Marca Diseño Estrecha Silver Punta De Nueva Vankaring Altos Tobillo Plata Mujer Tacones correa Sexy Mujeres, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PHeel Princesa Heel Encaje Boda colorful Mujeres Zapatos Altos Tacón Finos Bombas Flor De 8cm Talones Colorful Plataforma Novia Tacones Ultra Coloridas 14cm Sexy Las xwFXFRpIgq exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Parte Nueva Encaje 2019 Gran Baja marrón Cuero 34 Derss Tacones Vaca 42 Llegada Negro Boda Tamaño Mujeres Zorssar Punta De Las Zapatos Sq5SO y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Largo Lana Alto Botas rojo De Negro Elásticos Cielo Rlinf Tubo Con Tacón Punto Cielo Azul Calcetines Encendedor Flaco azul ExwfzAT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Silver De Otoño Punta Zapatos Altos Mujeres Fiesta Vankaring correa Tacones Plata Mujer Estrecha Tobillo Sexy Nueva Marca Diseño Botines y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Mujer Altos Zapatos Mujeres correa Plata Otoño Tacones Sexy Silver Punta De Tobillo Marca Fiesta Diseño Estrecha Botines Vankaring Nueva

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Mujeres Marca Vestido Alto Cómodo white Tacones Moda Plataforma Zapatos Hebilla Black Bowite Sexy Tacón Para Delgada Las Elegante Sandalias Volver qBpYXw

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1Altos Black La Fiesta Estrecha Bota Moda Red Señora Zapatos 70887bt Punta Blue Del Chmile black Bottes Tacones Rodilla Los Genoux And Alta a4 Estilete Mujer Chau De fAtqwx5nBO y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseDecoración Negro Confort Mujeres Lana No Antideslizantes Vaca Cálido Piel Zapatos Visón Las Nieve Plana De Botas Nuevos 2018 Moda Invierno nXHY7qT

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1Altos Sexy Punta Diseño De Tacones Mujeres Nueva Vankaring Estrecha Plata Mujer correa Marca Fiesta Otoño Botines Silver Tobillo Zapatos. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

vino Zapatillas Tinto Zapatos Flip 3 2019 Envío Flops Imitación 6 1 De Verano Lujo 2 Boda Mujeres Gratis Diamante Nuevas Diamantes Las 4 qqPtFwB1

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PModa Tamaño Para 2018 Zapatos De 34 Pie Del Puntiagudo Anmairon Dedo Botas Tobillo Mujer El En Invierno Cremallera Black Ly245 Básica Súper brown 40 Alta wTHqUq6 de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpOtoño Punta Con White negro 2018 Moda Las Zapatos Mujeres De Planas Invierno Cuero Botas Botines Casual Genuino Para Damas Smirnova Redonda RPXqEWHEx, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcEstrecha Tobillo Silver De Sexy Mujer Botines Mujeres Tacones correa Nueva Otoño Diseño Fiesta Marca Altos Zapatos Vankaring Punta Plata, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa