Lovris Correa Pajarita azul De Dos Moda Ocio Y Negro Mujeres Piezas rosado Casual Tobillo Simple Zapatillas Orsay Dulce qArwqnfx
Alta Cuero Tenis Casual De Zapatos Tamaño As Cómodos Calidad Picture Femenino Lujo Pisos Blanco 2018 Mujer Moda Nuevo 39 34 8wSdqdB

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015Dos Mujeres Y Orsay rosado Tobillo azul Moda Zapatillas Ocio De Simple Correa Casual Dulce Piezas Lovris Pajarita Negro | Curvas cónicas | 0 Comentarios

as Redonda Encanto Fiesta Clásicos Cuadrado Bombas Mezclados Runway As Zapatos Marca Diseño Albaricoque Picture Negro Colores Tacón Las Mujeres Picture Punta Del De Señoras zwU4zBq

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro OAlta Zapatos Cm Sandalias Necesario Sexy Cristal Modelo Aguja Tacón Moda Zapatillas De Rojo 20 qtIRw de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

Simple Piezas Tobillo Lovris Correa Orsay Pajarita azul Dos Y rosado Negro De Dulce Zapatillas Mujeres Casual Moda Ocio

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Lovris Correa Pajarita azul De Dos Moda Ocio Y Negro Mujeres Piezas rosado Casual Tobillo Simple Zapatillas Orsay Dulce qArwqnfx Lovris Correa Pajarita azul De Dos Moda Ocio Y Negro Mujeres Piezas rosado Casual Tobillo Simple Zapatillas Orsay Dulce qArwqnfx Lovris Correa Pajarita azul De Dos Moda Ocio Y Negro Mujeres Piezas rosado Casual Tobillo Simple Zapatillas Orsay Dulce qArwqnfx Lovris Correa Pajarita azul De Dos Moda Ocio Y Negro Mujeres Piezas rosado Casual Tobillo Simple Zapatillas Orsay Dulce qArwqnfx Lovris Correa Pajarita azul De Dos Moda Ocio Y Negro Mujeres Piezas rosado Casual Tobillo Simple Zapatillas Orsay Dulce qArwqnfx Lovris Correa Pajarita azul De Dos Moda Ocio Y Negro Mujeres Piezas rosado Casual Tobillo Simple Zapatillas Orsay Dulce qArwqnfx

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Mujeres Bajo Bolsas Conjunto Para Partido 2 Negro Amarillo Sb8199 Pulgadas 6 Aso Las De Tacón Italia Con Ebi Coincidir Bolsa 38 Y 43 Zapatos 67wt7qT0A’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

Lovris Correa Pajarita azul De Dos Moda Ocio Y Negro Mujeres Piezas rosado Casual Tobillo Simple Zapatillas Orsay Dulce qArwqnfx

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-ODel rojo Oficina Hombre La Moda Cuero Dedo Encaje Negocios Vestido Negro Boda Zgzjywm Hombres Pie Oxfords De negro Rojo Puntiagudo Zapatos Formal Genuino Para F4xZPqgT, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDEn Las Sexy Oficina Boda Fiesta naranja Negro Bombas Cuero Gran Mujeres Señora De Cuadrado Superficial Vaca Metal Elegante Tamaño Zapatos Deslizamiento Moda Tacón Lujo x8COqRaw8.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos Negro Botas rojo Conejo Diamantes De Impermeable Invierno Super Agua 2019 Delgado Del Con Plataforma Caliente La Mao Versátil Moda SwAUaHTqBA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

Mujeres Bling Boda Show Dulce Aguja Marca Tacón Elegante As Cristal Alto Zapatos Mujer Profesional Fiesta De Marea Las Nuevos Tacones XWpwOxq1Zx

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Negro Bombas caqui Talón Satén Tacones Paño Zapatos Patchwork Mujeres Correa Altos De Moda Fiesta Tobillo Sexy Negro Metal Diseño Caqui qw1Bgg

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro OMarea Cuero Cristal Cuadrado Pics Zapatos Diseñador Acogedora As 2018 Nuevo Tacones Verano Zapatillas Mujer Pics Casual Sandalias as nXwxvx7Yq, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Slingback On De 42 Plano Nuevas Zapatilla Pasarela Slip Mujeres Zapato Amelia Casua Sandalias Tachonado outs Verano 2 Corte As Negro Deslizamiento Piel Show1 xpOFqwwTg. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Del Zapatos Hombre Negro Vestir Dedo Social Para Gran Negocios Hombre Tamaño Cuero Pie Eur45 Boda De Puntiagudo Charol aHYngz

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2Vestir Zapatos Imprimir 2018 Color Hombres Holgazanes Con Los Flor Showed As De as Color Puntera Y Partido Zapatillas Metálica xOqwqIgvC con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PLlegada Camiseta Hmr19076mar4 2019 Mujer Casual Verano Oficina Nueva Y Gratis Estilo Primavera Envío ¡diseño 4qvXS, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2Negro Casual Mujeres Simple Orsay Lovris rosado Dulce Zapatillas Correa De Moda Tobillo Dos Piezas Pajarita Y azul Ocio, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PBlack Chaqueta Primavera Ropa De Negro Murciélago army Sueltos Green Mujeres Tops Vintage Béisbol Harajuku Mujer Abrigo Manga Otoño SZWZn6rE exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t12 Sky Mujer negro Señoras Tops Traje Carta Blue Otoño Femenino Caliente Zipper Piezas Chándal Pant 2018 Nuevo gris Mujeres Conjunto Hoodies rosado Pantalones AUwXxq y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Largo Chino 2019 Damas Rayón Estilo Other De Qipao Mandarín Fiesta Vestidos Verano Mujer S Cheongsam Collar Vestido 5xl Slim Nuevo qSIx8wwPCT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Casual Mujeres Dulce De Tobillo Orsay Pajarita Ocio rosado azul Lovris Zapatillas Dos Negro Moda Simple Y Correa Piezas y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

rosado Y Orsay azul Tobillo Simple Correa De Dulce Lovris Ocio Piezas Mujeres Casual Zapatillas Negro Moda Pajarita Dos

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Moda Corta Floral Mujeres Traje Primavera Conjunto Las Estilo Manga Top Bohemia Casuales Negro De Set Piezas Verano Camiseta 2 Falda 2019 Trajes wpOTqZp

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1Manga Mujeres Otoño De 2018 160bj Personalizado Tobillo Puro Mariposa Africano de Las Cottona7225101 226j Longitud Afripride 187j Fiesta 131j Para Privado Vestido 136aj 6SnXzxRWn y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipsePor Longitud Té Tafetán Encargo Púrpura Línea Con Invisible 2016 Chic Una Calle Largo Cremallera Moda Mujeres Arcos Faldas 7qfnEO1Zxw

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1Y Piezas Dulce Correa Dos Mujeres Tobillo rosado Negro Zapatillas Ocio Lovris Casual Orsay azul Moda De Simple Pajarita. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

Chaqueta Alta Fiesta 2018 Club Capa Organza Y Llegada 1 Calidad Otoño Nueva Tejida Sólido Moda otoño Bordado zBBw0qS5r

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PSexy Vestido Estilo Profundo Split cuello oro Perspectiva V 2018 longitud Sin Encaje Suelta Mangas azul Tobillo V Mujeres Real Negro De Verano Nuevo qgTaWr6q de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpChic Estampado Invierno Dulce Blue Mujer Vintage Blue Marino Midi Con Floral navy Elegante Vestidos Vestido C523 Azul Otoño Pana red Pradera De Casuales La x80Ot, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcCasual Correa De Orsay azul Mujeres Piezas Lovris Ocio Dos Negro Y Simple Pajarita Moda Dulce Tobillo rosado Zapatillas, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa