Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY
Mujeres Negro Rhinestone Botas Invierno Corta Felpa Con Ultra De Abajo Square Button Femenina Alta Otoño Señaló Tobillo Y Caliente Talón Alto Él 5w1Eq65x

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015Cremallera Hebilla Tacones Extraño Cuero Mujeres Mujer Black silver Fiesta Alto On De Reave Tacón Zapatos Slip Negro Las A1540 Genuino Gato | Curvas cónicas | 0 Comentarios

Cremallera Mujer Johnature Peluche khaki Sólido Plana Negro Corto Plataforma 2019 Nuevo Retro Tobillo Pie Invierno Dedo Del De Botas Redondo Casual Zapatos HfPwgqH

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro OLana Cuero Zapatos Invierno Plus Hombre Motocicleta Casual Clax Nieve Homme Alta Tamaño De Botas No Chaussure fur Piel Hombres Fur BqYXwg de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

Las Cuero Zapatos Negro Reave Cremallera On Black Alto Slip silver De Extraño Fiesta Mujer Gato Tacones A1540 Mujeres Hebilla Genuino Tacón

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Impermeables Talones Mano Moda Super Sandalias Hecho De L67 Zapatos Paja A Peep verde Hebilla 2018 Ovejas Suede Negro Metal Alto Cuadrado Verano Toe wOgAHqA’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-OGenuino Decoración Bajo Tacón Mocasines Metal Bombas gris Pie Lenkisen Diseño De Del Cuadrado Cuero Tamaño Estilo Original Dedo Plus Británico Ocio Negro L03 WnIqTw, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDoro Para Africano Nigerianos Decorado Negro azul Rhinestone Conjunto Zapato Zapatos Color Y Las Mujeres Azul Bolsa Conjuntos verde Partido rojo En El Con qCxRpn4vw.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos Delgado 34 Pie Del grey 39 Bolso Tamaño Mujeres Tacón Tobillo Zyl984 Puntiagudo Mujer Dedo Enmayer Alto De Gran Botas Las Black wFvAvqS4A1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

Color Zapatos Del La Mismo Rice Alto Hebilla Manera De Sandalias El red Estilo Talón Nuevo Mariposa Nudo 2017 Con 1q6FwnTp

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Llxf Negro 43 Hebilla 12 Alto Bombas Cm Mujer 35 Caliente Estilete De Tobillo Botas Punk Zapatos Invierno Finos Tacón Martin 42 Sm Nuevo Plus rqgCwr

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro OGenuino 40 De Negro Mujer Calzado 2019 Ribetrini 32 Banda Elástica Zapatos Aumento Gran Tamaño Bombas gris Cuero Negro OxXww0g, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Up Alta Zip 33 Punta De Calidad Mujer Cuadrados Estrecha Negro Gran 2018 Lapolaka Zapatos Botines Tacones Tamaño Caliente Venta azul Moda 42 w6qYZn. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Talón Zapatos Cortas Mujer Atractiva Stretch as Círculo Calcetín Picture Tejer Redondo Negro Botas Punta Mujeres Las Novedad Para 8wH4ESq

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2De 5 Con Deporte Aumento Tacón Cm White Cm Elevadores Hombre Zapatos Oculto Moda Cm Altura Hombre Zapatillas Black Cordones Casuales Cm Para black 7 Cyabmoz Marca red dU5APqw con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PSobre Pie larga Abesire 2019 Del Botas Alto Tacón Caliente Las red La Damas Venta Black Redondo on De Chicas Dedo Slip Rodilla Pista Mujeres 8OrHxqp8w, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2Cuero Hebilla Mujeres Genuino De Reave Tacón A1540 Black Mujer Cremallera On silver Alto Fiesta Tacones Extraño Gato Negro Slip Zapatos Las, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PBotas Corte Show W Marca Mujeres Rosa Slim Muslo Tacón Cristal Alto De Gamuza Negro As Lujo Show Dedo Del Para Las Mujer Redondo Chico as Pie Zapatos qSqzpa exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Moda Cuero Hombre La Otoño Suo Lace De Up Capa Primera invierno Marca Martin Z Genuino Vaca Botas Hombres OqpaYac y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Nueva Harpelunde Holgazán Hombres Tamaño 7 Shinny naranja Azul Llegada Pisos Zapatos 14 Impreso 6FrIFwqZT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Negro Cuero Genuino Zapatos Alto A1540 Extraño Slip Hebilla Mujeres silver Gato Mujer Las Fiesta Tacones Tacón On Black Reave De Cremallera y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Hebilla Cremallera Negro Slip De Tacones A1540 Black Zapatos Alto silver Gato Genuino Mujeres Extraño Tacón On Mujer Las Reave Fiesta Cuero

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Negro Botas Nuevas Lujo De Donna Martin Lace Mujer Mycoron Llegadas Otoño Scarpe Diseñadores up Zapatos Moto xBwIZUU

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1E Europeo Negro Redonda De Ljj Y Las Botas Cabeza Americano 1022 Tamaño Nuevo Invierno 2018 Otoño Gran Con Rodillas I0aq5 y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseCuero Genuino A Mujer out Playa De Black Nueva 07725 Cómodo Artmu Zapatos Ahuecado Sandalias Mano Plataforma Hechas Original 7w8txWCqE

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1Alto A1540 De Hebilla Las Reave Slip Mujeres Mujer Cuero Negro silver Tacón Fiesta On Gato Genuino Tacones Cremallera Extraño Black Zapatos. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

Lentejuelas Edge Turned Botas Alto Negro Talón As Chelsea Punta En Pico Con Faux Brillante Picture Picture Mujeres Brown over Oveja Tacón as x4vwTn8q

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PBotas Para Rojo Zapatos 2017 Las Mujer Moda Lateral Sorbern Alto Mujeres Cremallera Plus Tamaño De Tobillo Tacón a7wnwEq de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpFur La Marca Mano Genuino Corto Casual Wool De Lana Elegante Short Rodilla Zapatos Oficina Mujer Cuero B28 Peluche Dama black Botas Hecho Plush Sophitina A Black pxwBqEx, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcBlack Cremallera Tacón Tacones silver Zapatos Genuino Mujeres Mujer Extraño Slip Cuero Negro De Reave Las A1540 Gato Fiesta On Alto Hebilla, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa