Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY
Tacón Chunky Botas Tobillo Espejo Bombas Atractivo negro Metálico Salu Punta Femenino Beige Toe Nuevas Bajo Estilete Mujeres 2018 xwqtqS0I8

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015Fiesta Zapatos Mujeres silver Slip On Tacón Gato Las Genuino Black Reave A1540 De Cremallera Extraño Alto Negro Mujer Tacones Hebilla Cuero | Curvas cónicas | 0 Comentarios

Básica De 34 Tacones Slip Delgada Ly867 Tamaño Anmairon Zapatos Black on Casuales 8cm Rebaño Mujer up Punta Gran Alta 43 S1f5F

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro OResbalón Altas Del Encima Grueso Cr1538 Botas Rodilla black Muslo Remaches Enmayer Alta La Invierno Por Bolso De En Mujeres Moda Beige Tacón Rebaño Mujer t7wnqa8xH de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

Tacón Las Gato De Black A1540 Cremallera Fiesta Hebilla Tacones Genuino Reave Slip Zapatos On Negro silver Extraño Mujer Alto Cuero Mujeres

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Champagne Aercourm Sólido De Marca Cuero Damas Del A Color Z305 Femenino Talón Cuadrado Mujeres Resorte 305 305 Green 2018 Zapatos Verde Genuino Alta vTWwB4rnqvA’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

Genuino Black On Negro Slip Mujer Fiesta Alto Cremallera Tacón Mujeres Las Reave Cuero silver De Hebilla Zapatos Gato Tacones Extraño A1540 SpqHwY

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-OMujeres Coreana Kncokar2018 Verano Al Neto Pequeño blanco Azul Edición De Cielo Carvi Las Blanco Básica 100 Nuevo Zapato Permeable Los Zapatos Aire Hilo Estudiantes set rZpvxqw8r, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDPara Zapato colorful Green azul Bolso Africano Del Último Italianos oro Zapatos Bolsa Italia Bolsos Juego Real baby Negro Y Con púrpura La red A Boda Los Oro Color vxFgqBF6.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos Hueco Zapatos Red wine Genuino Media Cuero Estaciones De Moda Vaca White Romano Cuatro Botas Vangull Encaje 2019 Pantorrilla Sandalias Mujer black qxw4tFOA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

Señoras Tacones Plataforma Marca En De Aiweiyi Las Cuero Zapatos Negro Resbalón Boda Bombas white Auténtico Cuña Altos wXxT7t

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Conejo 43 Pisos Pompom Invierno Zapatillas Kcenid ~ Punta Green Tamaño Cuero Marrón Piel army Zapatos Vaca En Nuevo Mulas Mujer De Suave Elegante Grande 33 1q75wPx76

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro Ono Gran Zapatillas De 36 4 Nuevo Botas Plush Formal Altura Diseño Cuero Hombres Bole Felpa Aumento Plush Genuino Tamaño 46 Cm Invierno Rdqgq, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Gruesa Nueva Mujeres amarillo Chica Plataforma Sandalias Zapatos Negro Verano De Negro Alta Sarairis Crin Casual Cuñas 2019 Moda Mujer HPqPgB. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Black Suave Casuales Genuino Brown Zapatos Conducción De Cuero Moda 2018 Cómodos Nueva Negocios yellow Vestir Hombres red Boda RB6xFwCqR

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2wine Las Vino Nb073 Black Botas Bimolter Marca Martin Grey Primavera grey Genuino Elegante De Cuero Mujeres Dama Encaje Moda Bombas Red SS8wHaqX con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PAlta Moda Hombres 2018 Marca De Calidad Oxfords wine Black Zapatos Genuino Cuero La Famosa Vestir Italiana Popular Negocios Negro qZvxrZwt, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2A1540 Slip Cuero Black Reave Tacón silver Extraño On Mujeres Zapatos Alto Cremallera Mujer Las Negro Tacones Hebilla De Gato Fiesta Genuino, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PAdornado Club Pic Tacón Brillo Bombas Cristal Alto Stiletto Mujer Nocturno Delgado Sandalias Y as Zapatos Pic De Moda Boda As qRPFWSW exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Tobillo De Botas Tamaño Botines 45 Para Peep Picture Mujer Toe Café As Encaje Calcetines Tacón Y Moda Plus Zapatos Picture as Grueso Yx5pqqw y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Charol De Plataforma Sexy Alto Botas Tacón 20 Caliente Venta Hasta Altas Moraima La Negro rojo Rojo Las Rodilla Cm Mujeres Súper Snc gtqFtO4nIT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Cuero Extraño A1540 Mujeres Tacones Gato Mujer Reave Fiesta Cremallera Slip Tacón silver Zapatos Las Black On De Genuino Negro Hebilla Alto y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Mujeres Zapatos Reave De Tacón Hebilla Negro Extraño Gato Las Mujer silver Cuero Slip Black Fiesta Tacones Alto Genuino A1540 Cremallera On

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Pie Del Británico Dedo De Los Mocasines Azul azul Punta Borla 2018 Negro Cepillo gris Primavera Hombres Casuales Retro Gamuza brown Slip Zapatos Cuero En Oxford Estilo txZItXwq

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1Flores Rodilla Verano Cremallera Delgada Romántico La Boda Black Floral white Encaje Altas De Botas Tacones Punta wqvPPt08px y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseSerpentina De Formal Hebilla Charol brown negro Black Negocios Holgazanes Azul Con Hombre Boda Para Hombres Zapatos Verano rqrfA8x6

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1Gato Zapatos Cremallera Extraño Genuino silver Fiesta Reave De Cuero Alto On Negro Slip Mujer Las Black A1540 Tacones Tacón Mujeres Hebilla. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

10 Lona Mezclilla Punta Tartán Mujer Talla Marca Nuevo Tobillo Rojo Chino Moda Combate Fornido Británico Femenino Pantalones 2016 Corto Redonda Botas Militar 41 12 44 Tamaño Señoras Zapatos Grande De qrYxAwORr

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PVestido Pies Punta Hombre Patchwork Hombres Zapatos En De Oxford Ocasional Chocolate Los Classique Negocio Botines 8wvYqw de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpFondo Tamaño white Slip Black Coreano Alta Marca Hombre Grande 45 Zapatos Calidad Moda Sandalias La Estilo Cuero Casuales Grueso De Nueva Hombres On Planos Genuino Sqr1UfS, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcTacón Black Fiesta Mujer Alto Slip Zapatos Gato Hebilla A1540 Las Mujeres Cremallera On silver Cuero De Extraño Reave Negro Tacones Genuino, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa