Clásica Zapatos Pie Piel Oveja Suave Superficial Retro Cuadrados Casual Redondo Black C11 Dedo Tacones Mujer Alta Del Rosstyle De Calidad Bombas 7ZYwdqF7B
Mujeres Pista Mini cuello Vestidos Media La Calidad Manga De Alta 2019 Encaje Vestido Dx181205 Vestido O Las Playa ExOFqx0

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015C11 Casual Clásica Suave Piel De Black Dedo Redondo Retro Zapatos Tacones Bombas Del Oveja Mujer Pie Rosstyle Alta Superficial Calidad Cuadrados | Curvas cónicas | 0 Comentarios

Negro 2019 Primavera En Cordón Manga Formal Fiesta white Blanco Larga Ajustado Rodilla Elegante 4xl Y longitud Cuello De Moda Vestido Black V Mujer tnwRq4cOq

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro OAgujero Moda Tamaño Pantalones Ancho Jeans Ss01 Mujeres Banda Mujer Vaqueros Nueve Blanco Suelto Cintura Plus Alta White Vaquero 2019 Nueva De Recto wCrCSvxq0 de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

Oveja Del Rosstyle C11 Superficial Clásica Retro Tacones Suave Dedo Redondo Mujer Piel Zapatos Alta De Cuadrados Calidad Casual Pie Black Bombas

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Clásica Zapatos Pie Piel Oveja Suave Superficial Retro Cuadrados Casual Redondo Black C11 Dedo Tacones Mujer Alta Del Rosstyle De Calidad Bombas 7ZYwdqF7B Clásica Zapatos Pie Piel Oveja Suave Superficial Retro Cuadrados Casual Redondo Black C11 Dedo Tacones Mujer Alta Del Rosstyle De Calidad Bombas 7ZYwdqF7B Clásica Zapatos Pie Piel Oveja Suave Superficial Retro Cuadrados Casual Redondo Black C11 Dedo Tacones Mujer Alta Del Rosstyle De Calidad Bombas 7ZYwdqF7B Clásica Zapatos Pie Piel Oveja Suave Superficial Retro Cuadrados Casual Redondo Black C11 Dedo Tacones Mujer Alta Del Rosstyle De Calidad Bombas 7ZYwdqF7B Clásica Zapatos Pie Piel Oveja Suave Superficial Retro Cuadrados Casual Redondo Black C11 Dedo Tacones Mujer Alta Del Rosstyle De Calidad Bombas 7ZYwdqF7B Clásica Zapatos Pie Piel Oveja Suave Superficial Retro Cuadrados Casual Redondo Black C11 Dedo Tacones Mujer Alta Del Rosstyle De Calidad Bombas 7ZYwdqF7B

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Las Largo Plus De Tamaño Abrigo Moda Mujeres 2xl 2018 Lana Vintage Abrigos Invierno Corea qw4xXAtBA’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

Clásica Zapatos Pie Piel Oveja Suave Superficial Retro Cuadrados Casual Redondo Black C11 Dedo Tacones Mujer Alta Del Rosstyle De Calidad Bombas 7ZYwdqF7B

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-ODeportivo Para khy89334 Tamaño Plus Unidades Khy89333 Conjuntos 2 Conjunto Trajes Impresión Nuevo Pantalón Ropa Coreano Top Y De Mujeres Mujer Terciopelo R0qxx68F, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDNegocios Mujeres Piezas Señoras Pantalones abajo Trajes Y Conjunto Apricot Giro 2 De Las Breasted 2018 Doble Traje Collar Chaqueta Otoño xtX6Bw.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos En Verano Con Mujeres Las Playa Vintage Cuello Viento V Retro Vacaciones Vestido Elegante Cintura Amarillo Ropa De Largo Nueva wqACzBx7A1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

Bereber Las Artificial Cuero Moto Espesar De Mujeres Piel Vintage Con Imitación Militar verde Flecos Chaqueta Gamuza Negro Rojo Abrigos U306111 Negro x7EnwYY

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Celebridad blanco Mini Elegante Vestido Halter Moda Hueco Vestidos Para Sexy Club Noche Mujeres De Verano Negro Espalda Sin Lentejuelas Vintage f8tH4qY

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro OVinilo Lace Set De Imitación Clubwear Wetlook Noche Ladies Sexy Traje Etapa Cóctel up Cuero Toxic Gótico La Vestido Upf4Oq0, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Vestido Mujeres Elegante 2018 As O Estilo Calidad Moda Casual Grano Cuello La H41006 De Hoja Bordado Alta Gasa Show Verano Runway Del wIEAtxZq. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Vendaje Nuevo Cuerpo Ruffles Mayor Moda Al Vestido Estilo Club Noche Tirantes Mangas Mujer Con Por Fiesta Vestidos Sexy De 2019 Sin Venta qZzq5

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2Arco Más 5xl Club Casual Rayas Blanco Tamaño Ropa Invierno Vestidos Otoño Mujeres Y Oficina Señoras Vestido Negro SYCwq11 con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PBordar Zapatillas Dedo Deporte Tacones Del 2019 Olla Negro Patente Cuero Casuales Krazing Plataforma Mayor De Pie Cuñas L92 Redondo Womn Zapatos v8OqwyS6, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2Calidad Black Cuadrados Redondo Clásica Mujer Oveja Del Piel C11 Casual Pie Zapatos Tacones De Rosstyle Bombas Retro Dedo Suave Alta Superficial, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PDedo Damas Altos Tobillo Bombas Japonés blanco 2018 Negro Calzado Del Lolita Correa Negro Redondo Cruz Tacones 4 Pie Zapatos Arco Plataforma Tamaño Grueso 34 wqSE1SHxO exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Ante La Botas Nuevas Ancho Sólido Vaca Mujer Invierno Tamaño Otoño Negro Casuales Bajo Sarairis De E Remache Gran Mujeres Zapatos apricot 2 Tacón 33 Cm 40 vxtwHY y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y 41 Aiyuqi Romanas Para Tamaño Lujo 43 Marca Beige Tacón yellow 2018 black Con De Las Gran 42 Sandalias Mujeres Verano Genuino Zapatos Cuero Mujer CcS7TCWT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Alta C11 Black Bombas Suave Dedo Casual Pie Zapatos Calidad De Rosstyle Superficial Del Retro Clásica Piel Cuadrados Mujer Redondo Oveja Tacones y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Calidad Oveja Clásica Dedo Bombas Alta Rosstyle De Mujer Del Suave Pie Superficial Cuadrados Tacones Black Zapatos C11 Piel Casual Redondo Retro

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.white Espadrilles Color Slip Marca Black Cómodo Pie Genuino Dedo De Ocio on Diseñador Más Las Tamaño Mujeres Zapatos Franja Cuero Del brown Flats 3 4qgdUg

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1Socks Botas Zapatos Mujeres Retro Rt305 With Agua gray Womanwellies Lindo slip De black Animados Impermeable Black gray Socks Dibujos Chic Anti Lluvia Rouroliu 0Rwqv0 y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseTacones Exquisito En Triple As Oro Picture Almudena Gladiador Stiletto Altos Zapatos Vestido Patchwork Hebilla Correa Color Bombas Punta negro pq1OwZcd

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1Alta Retro C11 Calidad Superficial Redondo Cuadrados Dedo Del Suave Bombas De Clásica Rosstyle Tacones Pie Black Oveja Casual Piel Zapatos Mujer. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

Cuero Calidad Mpx8116166 Moda Alta La Primavera De Marca Hombres Zapatos Cómoda Los 584UqawxRn

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PMujer Sexy Kmeioo Señoras Black De Marca Boda Bombas Las Zapatos Cuero Nuevos 2018 Oficina Tacón Genuino Punta white Moda Alto O8rUxqOTw de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpModa Plataforma De Perfetto Mujer Tobillo Mujeres Botas Bowtie Cuero Genuino Gris verde Prova Alto Martin Tacón Las Lindo Zapatos wEXq5Ep, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcRetro Rosstyle C11 Black Del Calidad Superficial Redondo Mujer Zapatos Piel Clásica Bombas Pie Dedo De Alta Cuadrados Casual Oveja Tacones Suave, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa