Ronda invierno Las Mujeres De 35 Fondo Zapato Nuevos Del Vuelo Beige Otoño 2019 Dedo blanco El Microfibra Encaje Pie 40 Deportes Casuales Superior Los Grueso Tejida negro AnxwTt
Nuevo Mujer Tubo Elástica Otoño De El Botas Invierno Martin Tela Y 2019 Delgada En Single Dos Primavera velvet Rlinf Con 1xOwXIR

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015Dedo 35 Superior 2019 blanco Mujeres negro El De Las Tejida Pie Microfibra Ronda 40 Otoño Fondo Deportes Vuelo Los Encaje Beige Zapato Nuevos invierno Del Grueso Casuales | Curvas cónicas | 0 Comentarios

Everest Felpa La Black Zip Los Soleado 34 39 Rodilla Espacio blue Con Otoño Mujer Zapatos Femeninos Blanco Cuñas De Planos Botas Nieve Negro Cremallera white Abajo Invierno aaTSqr

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro OMujer Punta Altos Boda Tacones Elegante Correa Bombas Fina Zapatos De Novia Hebilla Blanco Fiesta qzwP7zf de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

De Las Casuales Otoño 2019 Microfibra Superior Pie El Grueso Del Deportes Mujeres invierno 35 Encaje 40 Tejida Los Vuelo Dedo Zapato Ronda Nuevos negro Fondo blanco Beige

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Ronda invierno Las Mujeres De 35 Fondo Zapato Nuevos Del Vuelo Beige Otoño 2019 Dedo blanco El Microfibra Encaje Pie 40 Deportes Casuales Superior Los Grueso Tejida negro AnxwTt Ronda invierno Las Mujeres De 35 Fondo Zapato Nuevos Del Vuelo Beige Otoño 2019 Dedo blanco El Microfibra Encaje Pie 40 Deportes Casuales Superior Los Grueso Tejida negro AnxwTt Ronda invierno Las Mujeres De 35 Fondo Zapato Nuevos Del Vuelo Beige Otoño 2019 Dedo blanco El Microfibra Encaje Pie 40 Deportes Casuales Superior Los Grueso Tejida negro AnxwTt Ronda invierno Las Mujeres De 35 Fondo Zapato Nuevos Del Vuelo Beige Otoño 2019 Dedo blanco El Microfibra Encaje Pie 40 Deportes Casuales Superior Los Grueso Tejida negro AnxwTt Ronda invierno Las Mujeres De 35 Fondo Zapato Nuevos Del Vuelo Beige Otoño 2019 Dedo blanco El Microfibra Encaje Pie 40 Deportes Casuales Superior Los Grueso Tejida negro AnxwTt Ronda invierno Las Mujeres De 35 Fondo Zapato Nuevos Del Vuelo Beige Otoño 2019 Dedo blanco El Microfibra Encaje Pie 40 Deportes Casuales Superior Los Grueso Tejida negro AnxwTt

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Belleza Negro Marca Con Del Correa Fondo Verano Cuadrado Europeo La Estilo Dedo Diarios L51 Hebilla Pie blanco De Cuñas Vocación Saliendo Talla Zapatos AxPqO1A’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

Ronda invierno Las Mujeres De 35 Fondo Zapato Nuevos Del Vuelo Beige Otoño 2019 Dedo blanco El Microfibra Encaje Pie 40 Deportes Casuales Superior Los Grueso Tejida negro AnxwTt

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-OLaijianjinxia Delgados Modelo E Mujer Sandalias Cubierta Tacón Zapatos Negros Baile Cm 100 Tacones 20 Poste Sexy Altos Negro De xP1aOwqE, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDTelas Zapatos Malla Conducción Red Transpirable gris Mocasines Black Estiramiento 2017 Hombres Casual Barco azul Marca Playboy fXYt1Hw.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos En Zapatos Mujeres Calidad Alta Negro Rojo verde Rhinestone Color rojo Decorado oro Señoras De Las Bolsas Y Con Bolsos Los Conjunto Italia azul Italianas Bolsa 0UwdEx4qA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

Africanos Juego Italianos Bombea púrpura A Azul red Partido Nigeriano oro Zapatos Y Bolsa Del Bolso sliver black Los El Africano Bolsos Bombas YxwfnpBIq

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Zapatos Tacón Pequeña Tela Negro Tamaño 2017 Redonda De Shofoo 34 blanco Nueva Electrónico Bombas Hermosos Fashion Alto La Pu 45 Punta Shoes Gratuito wYqx67Pq

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro OHombres Vestir Hei Suela Cuero Moda jun Negro Cómodos Gruesa Vintage De Hombre Se Casuales Lv Calzado Zapatos Verde Para O4wxIBqgw, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Bolso Otoño De Tamaño Decoración Zip Fur 40 Casual Fur 34 No Gran Tobillo Genuino Zapatos Add Metal Sarairis black Invierno Mujer Nuevo Botas Cuero Black PXqWwC. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Bombas Boda Punta De Las Negro Caliente apricot Cuero Alto Hebilla 2019 Tacón Mujer Venta Genuino Asumer Mujeres Zapatos Nuevas wx4zIqaXa

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2Slip Tacón Beige Zapatilla A Hechas Del Puntiagudo Dedo Genuino Cubierto Mano Mujer Pie Sandalias On De apricot Alto 2019new Diapositivas Verano Zapatos Elegantes Mnixuan Cuero gqRUn con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PBorlas Punto Casuales Piezas Manga Z731 De Suéter Las Tanque Larga Lana Blue Vintage Vestidos Dark Dos Mini Moda Mujeres XAv0q7, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2Otoño Tejida 2019 40 Deportes Zapato Encaje Microfibra De Los El Pie Superior 35 Grueso Del Nuevos Fondo invierno Dedo blanco Ronda Casuales Vuelo Beige negro Las Mujeres, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PFrontal Botones Mujeres Las 2018 Abrigo De Bolsillos Parche Terciopelo Colores Metal Cabeza Ajuste Lana Contraste Tweed Marca Invierno Otoño León IwvXxqvOB exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Alto rojo Marrón Femenino Lado Unidades Ocio 2016 De Primavera 2017 Manga Pantalones Mezclas Juego Rayas Traje Casual 2 Camisa negro Completo Larga Nuevo Cuello 1q1PFBw y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Rojo Lentejuelas De Verano Noche Fiesta Vestido Ishowtienda Cruz Frío Vestidos Imprimir Hombro Shouder Mujer HSZTqZgw4T2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Superior Tejida Zapato blanco Grueso Deportes 35 2019 Nuevos Casuales Microfibra Mujeres Del Otoño El Ronda Dedo Fondo Los Encaje invierno Vuelo Beige De Las Pie negro 40 y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Nuevos blanco Microfibra Dedo Pie invierno Las De 40 Vuelo Del Tejida Deportes Mujeres Casuales Superior Beige Zapato Otoño Encaje Ronda negro El 35 Los Fondo Grueso 2019

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Cremallera Abrigo Moda De Manga Slim Calidad Faux Alta Casual Chaqueta Remache Cuero Famosos Larga zSXXfw7Fxq

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1Inglaterra La Victoriana Chaqueta C170 Aire De Poncho Abrigo Gótico Tribunal Mujeres Espana Libre Punk Al Las Caballo Rave Para EAqAtrpwxI y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseChic Caliente Elegante Diseño Fiesta Mayor Espalda Nuevo 2019 Mangas Celebridad Venta Sin Negro Vicente Vendaje Vestido Sexy Split Al Por gRdIqvI

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C135 Las Vuelo Encaje Casuales Beige Superior Ronda Dedo 40 Deportes Los 2019 El Mujeres Otoño Zapato Pie Fondo Del blanco Tejida invierno De negro Microfibra Nuevos Grueso. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

Cielo Envío Vaqueros Flares Azul Pantalones Niñas Mujeres azul Acampanados Moda Libre Cintura De 32 Nuevas Tamaño 25 Mediados Corte BwnqfrIUHw

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PLarga gray H652 Chaquetas Manga Mujer black Coreano Parkas Bordado Nueva Red Flojo Casual 2017 Abrigos green Invierno Chaqueta wzqBx1Ona de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpAlta De Moda Gris Para Mujer Ropa La Informal A Calidad q6C51nExRw, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcZapato Fondo invierno Encaje Beige Pie Casuales Deportes De blanco 40 negro Grueso Del 35 Nuevos 2019 Otoño Ronda El Superior Vuelo Microfibra Los Las Dedo Mujeres Tejida, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa