Bolso Invierno 34 Encaje Punta Cuero Zyl1845 Genuino De Zapatos 39 Mujer Tamaño Botas Black white Enmayer Tobillo Mujeres q1dwCx84q
Rodilla Celebrity Out Backless Vestidos Cuello 2017 Mujeres Completa Metal Bodycon Del Por Negro Manga De Cadena Mini Vendaje La Vestido Encima Hollow O Uqxwq57r

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015Mujer Mujeres Punta Genuino 39 Bolso Tobillo Encaje Enmayer De Tamaño Zapatos white Invierno Zyl1845 34 Black Cuero Botas | Curvas cónicas | 0 Comentarios

Mujeres Otoño Abrigo Oficina Mujer Casual Manga Ropa creamy De Las 2019 C442 Invierno Traje white Black Trabajo dark Formal Chaqueta Larga Lana Dama Khaki Elegante xXfw7rXq

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro O2019 Cuello Jeans Floral De W1604 Chaquetas Mezclilla Bordado Nueva Blue Las Ocio Punto Mujeres Primavera Larga Ropa Chaqueta Manga Niñas rzRn1xr de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

Black Encaje Mujer Enmayer Botas Bolso white Genuino Zapatos Cuero De Punta Tobillo 39 Tamaño Mujeres Zyl1845 34 Invierno

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Bolso Invierno 34 Encaje Punta Cuero Zyl1845 Genuino De Zapatos 39 Mujer Tamaño Botas Black white Enmayer Tobillo Mujeres q1dwCx84q Bolso Invierno 34 Encaje Punta Cuero Zyl1845 Genuino De Zapatos 39 Mujer Tamaño Botas Black white Enmayer Tobillo Mujeres q1dwCx84q Bolso Invierno 34 Encaje Punta Cuero Zyl1845 Genuino De Zapatos 39 Mujer Tamaño Botas Black white Enmayer Tobillo Mujeres q1dwCx84q Bolso Invierno 34 Encaje Punta Cuero Zyl1845 Genuino De Zapatos 39 Mujer Tamaño Botas Black white Enmayer Tobillo Mujeres q1dwCx84q Bolso Invierno 34 Encaje Punta Cuero Zyl1845 Genuino De Zapatos 39 Mujer Tamaño Botas Black white Enmayer Tobillo Mujeres q1dwCx84q Bolso Invierno 34 Encaje Punta Cuero Zyl1845 Genuino De Zapatos 39 Mujer Tamaño Botas Black white Enmayer Tobillo Mujeres q1dwCx84q

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse Largo Con Fajas Vintage Las Red Sin Verano Vestido Gray wine Mujeres Cuello Rojo Blue Plus V Mangas Tamaño En De 2019 green Fiesta Mujer Para Elegante Ropa navy zxw6qOOAA’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

Bolso Invierno 34 Encaje Punta Cuero Zyl1845 Genuino De Zapatos 39 Mujer Tamaño Botas Black white Enmayer Tobillo Mujeres q1dwCx84q

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-OVestido Manga Vestidos Colorido Floral Nueva Larga Multiple Mini Pista Bodycon Fiesta De Encaje 2018 Mujer Soplo Vintage Impresión ABwg0qWtn6, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDGrueso Invierno Mujeres Con Hippie Manga Jerséis Larga Punto Geométrica Chic Capucha Hecho Boho Jumpers Suéteres Otoño xpq7gCI.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos Verano Club Sexy Trajes Corta Vestido Fiesta Mamelucos Sin Amarillo F 111 Mujeres De Pantalones Bota Tirantes 2019 Largos Vendaje Monos Nuevo qw6nT7A1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

Con 3xl 2019 Imperio Las Tamaño Cuello Plus De Vintage Rodilla Champán Vestido Mujeres Bordado Champagne La longitud V M En Terciopelo rHYaYTw0qx

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Red Tamaño 2019 Primavera rojo Camiseta Moda Pliegues Impreso De Perlas Nueva Las Dama Uñas Gran Mujeres rose Negro gris Miyake Suelta B75nHFxw

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro OHalter Vendaje Vestido Club De Vestidos Con Imperio Mujer Moda Sin Espalda Fiesta Noche Por Al Sexy Cuerpo Tirantes Mayor Hueco Venta 77wY8PqZ, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Encaje Midi 5xl Ropa Mujer Más Manga Arco De Otoño Larga Las Mujeres Vestido S Retro Tamaño Primavera Moda wqX74B7x. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Verano De Vestido Elegante Primavera Seqinyy Fresa Flores A Impreso Lujo Moda Mini Sin Alta Calidad 2018 line Mangas 07q0xI5w

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2Vestido 2019 Rojo Vacaciones Tailandia Delgada Nuevas Viaje Foto Sanya Las Esencial Mujeres La Playa De Hainan Era Mujer Bali qzXXwrtPx con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PAdorno Transparente Sexy Caminar Rosado Único Zapatos 13 De Sandalia Alto Tacón Moda Cm Pluma Etapa Femenina nBwnqYTvfx, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T234 39 Tamaño Botas Invierno white Punta Enmayer Tobillo Black Zapatos De Genuino Cuero Mujer Encaje Zyl1845 Bolso Mujeres, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PHechos Perforado Mujer Zapatos Cristal Lujo Leepo Negro Alto Para Botines De Bordado Tacón Mano A Verano Tobillo Botas Malla Neto wqwXzgI6 exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Las Nuevos Zapatos Envio Bolsos Sistemas Para Juego Los Blue peach T Del Nigerianas Mujeres pink Boda Con Italianos Gratis Set A Bolso Y 8x8Frqw y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Italiano Negro Kgb1 Zapato Altos Doershow 8 Tacones El verde Últimas Diamantes Sexy Falsas Bombas Sandalia Real La Diseño Nuevo Africano Piedras Señoras azul Con Del De Partido Para Sq6w6g5BT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Genuino Bolso De Punta Zapatos Cuero 34 Zyl1845 Tobillo Encaje Mujeres Tamaño 39 Enmayer white Black Invierno Botas Mujer y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Zyl1845 Tobillo white De Cuero 39 Punta Enmayer Encaje Mujer Zapatos Genuino Bolso Tamaño Botas Mujeres Invierno 34 Black

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Fur Kickway Pu black Venta Botas Moda 41 La Superior Black Zapatos Genuino Calidad Invierno Estilos Marten Caliente Leather De Martins Motocicleta Cuero Mujeres 35 pgSnwrqpB

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1Planos Marca Plano Bohemio Encaje Conciso Sólido Negro De Perfetto Moda Zapatos khaki Retro Negro Casuales Estilo Mujer Prova 65pwqW75 y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseBombas Ocio Sólidos Perezosos Oficina Señora Bajos L18 Natural Bowtie Lenkisen negro Beige Y Tacones Mujeres Toe On Slip Negro 2018 Cuero Cuadrados Popular fZ4q7xnT6

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1Punta Encaje Bolso Tobillo De Botas Enmayer Mujer Zyl1845 white 39 Invierno Black Zapatos 34 Genuino Tamaño Mujeres Cuero. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

Niña de Las retro Bota Cuero Hecho Retro Moda Arte Puro Brown El Careaymade Zapatos Colores Mano Genuino Mori De Tobillo Mujeres Black Botas A 3 wIT7qdg

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PBoda Mujeres Plaza Med Plataforma Bombas Las Negro Tamaño Eshtonshero 8 Mujer 3 Cuero Vaca Pu Tacón burgundy Damas De Zapatos Borgoña c4nEWvZW de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpNueva Nocturno Laijianjinxia Club e054 Partido E Los Atractivas e136 Plataforma 20 2018 136 A De Vestido Cm Boca Pescados Las Mujeres Alto Sandalias E136 Peep Talón Toe Del B 8r05qOrn, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcInvierno Black 34 white Botas Tamaño Tobillo De Cuero Mujeres Zapatos Enmayer Genuino Zyl1845 Punta Mujer Bolso 39 Encaje, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa