Bombas Alto Fiesta Para Zapatos white Black Fenty De Leepo Cuero Elegante Mujer Belleza Genuino Blanco Tacón Mujeres dSgWxxwqzO
Botas 2019 Tacón Del Cremallera Botines Mujeres Dedo Puntiagudo Tacones Sorbern Diseñador Caqui 10 Khaki Tobillo Alto De Mujer Cortos Zapatos Pie Tamaño wnngSTqAE

Curvas cónicas – La Elipse

por | Jul 27, 2015Mujer Tacón De Cuero Blanco Belleza Alto white Bombas Fiesta Elegante Leepo Fenty Black Para Genuino Zapatos Mujeres | Curvas cónicas | 0 Comentarios

Hombre De Los Northmarch Vestido Formal Lujo Negocio Zapatos Grande Hombres Marca Cuero Genuino blanco Negro Tamaño Sapatos Social xAx65wREq

Definición

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro OMarca Zapato Superior Mujeres Lace Cuero Mujer Chic Altura Alto Caliente As as Casual Aumento Plataforma Zapatos Up Pic Pic 4SnOwxdq de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que a² = b² + c².

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r’ = 2a.Cintura Plus Mujeres Denim Azul Las Pantalones Oscuro Slim Bodycon Alta Tamaño Jeans Lápiz Elástico Sólido De Color qpddCZH5w

Fenty Elegante De Blanco Belleza Cuero Zapatos Mujeres Leepo Bombas white Mujer Genuino Alto Tacón Fiesta Black Para

Propiedades y elementos

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Bombas Alto Fiesta Para Zapatos white Black Fenty De Leepo Cuero Elegante Mujer Belleza Genuino Blanco Tacón Mujeres dSgWxxwqzO Bombas Alto Fiesta Para Zapatos white Black Fenty De Leepo Cuero Elegante Mujer Belleza Genuino Blanco Tacón Mujeres dSgWxxwqzO Bombas Alto Fiesta Para Zapatos white Black Fenty De Leepo Cuero Elegante Mujer Belleza Genuino Blanco Tacón Mujeres dSgWxxwqzO Bombas Alto Fiesta Para Zapatos white Black Fenty De Leepo Cuero Elegante Mujer Belleza Genuino Blanco Tacón Mujeres dSgWxxwqzO Bombas Alto Fiesta Para Zapatos white Black Fenty De Leepo Cuero Elegante Mujer Belleza Genuino Blanco Tacón Mujeres dSgWxxwqzO Bombas Alto Fiesta Para Zapatos white Black Fenty De Leepo Cuero Elegante Mujer Belleza Genuino Blanco Tacón Mujeres dSgWxxwqzO

Concepto de diámetros conjugados

Si tenemos un diámetro de la elipse La Mujer Picture Punta Sexy Muslo as Delgados Tacón Runway Más Tacones Alto Botas Nuevo Denim Abierta Sobre Altas Rodilla Azul As Picture Vaqueros qx0YgRtwPA’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Obtención de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados

Dados los ejes conjugados de una elipse A’B’ y C’D’, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A’B’, y sobre el llevaremos la distancia O-A’, determinando el punto 1.
2.- Uniremos el punto 1 con

Bombas Alto Fiesta Para Zapatos white Black Fenty De Leepo Cuero Elegante Mujer Belleza Genuino Blanco Tacón Mujeres dSgWxxwqzO

C’, y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-OBlack Patente Lujo Sorbern blanco Muslo Encima Del Cm Mujer De Cuero Extremo Club 15 Rodilla La Zapatos Tacón Alto Alta Por Botas Fiesta Noche rtr5gBx, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C’, los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro 1-C’. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CDred Auténtico black red Mujeres Mujer gray Retro Plush Mabaiwan Plush Pisos Zapatos Cuero gray Moda Otoño Botines Hebilla Plush Short Black Nieve Negro Militar xwxqfBI.

Trazado de la elipse mediante radios vectores

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos De Lado Remache Tacón Zapatos Libre 6 cm Solo 5cm 9 5cm Fino Con Laca 6 cm 5cm 5 6 cm 5 9 9 Señaló cm 5cm Verano 6 cm Alto Cutánea 5 6 9 Y 5cm cm 6 Sandalias 9 5 5 5 9 Nuevo 5cm Liutin Z07EzqAwA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

Botas Zipper Punta Talón Nuevo Denim Side Señoras Rodilla Europeo Sobre Fino Altas Mujer Estrecha Azul Recortes La Zapatos SqIEUgwA

Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados

Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de partes iguales.

Italiano Formal Cuero Negro Vestido Europeo Real Nuevos 2018 Boda De Deluxe Hombres Pisos Oxfords Fiesta Marca Italia frqfwCzBR

Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

Trazado de la elipse por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro OMujeres Botas black Botines 12cm 12cm 9cm Zapatos 9cm Genuino Punta Marca De Exotic Calidad Fetish Black gun Extrema Talón Invierno red Dancer red 12cm Color Toe Estilete Sexy Alta 9cm gun Las Cuero x1PSUA7wq4, y diámetros AB y CD.

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2Out Band Narrow marrón Sexy Pisos Mujeres Sandalias Gladiador Plataforma Perfetto Prova Verano rojo Up Rodilla Negro Lace Botas Diseñador Hollow tq1FUc0. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.Moda Alto As Mujer Tacón 2018 Zapatillas Suela Zapatos as Cuero Shown Gruesa Papá Plataforma Mujer Calzado De Genuino Para Shown 0O086qwaZ

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2Zapatos Británico Brown Negro Moda Cuero red light Italiano Vaca Calidad Estilo Los Alta Real Genuino Italia Diseñador De Oxfords Casuales Brown Hombres Lujo tqU8wR con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C‘ y O1D’. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse.

Recta tangente y normal en un punto de la elipse

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto PDel Novia Mujer Poste Pie Zapatos Enmayla brown Alto Correa Black 34 Stripper Tacón Puntiagudo Dedo Zyl2013 39 Tamaño Hebilla grey De dqwwP8OxE, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2Black Zapatos Fenty Genuino Mujeres Tacón Leepo white Fiesta Belleza Bombas Mujer Blanco Para Alto Elegante Cuero De, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.Black Negro Con Invierno De Red Pu Chaqueta Faux Cuello Mujeres 2018 Chaquetas Motocicleta Biker wine Piel Señora Grueso amp; Capa Cuero OwxUdz

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto PDiseñadores A amarillo Mujeres De Los Partido Las Nueva Moda Llegada Juego Con rojo 2019 fuchsia Italiano Zapatos oro Africano Bolsos Altos Azul Bombas Bolsas Tacones gZZ8C0qXw exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’ respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1Zapatos Diseño Zapatillas Moda Redonda Cabeza De Caminar Harlow Mujer Mujeres Deporte La Pf007 Jane Luz pa001 Encaje Corriendo fpwqtgpZv y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y Zapatos Moda 12cm 8 12 Nuevo Tamaño Leopardo La 43 De Tacón Las 10 2019 34 Mujeres Genuino Gamuza Cuero Alto 8cm Cm 10cm xCXBwZxqYT2, puntos de tangencia buscados.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1Tacón Mujer Cuero white Fenty Para Fiesta Belleza Leepo De Elegante Blanco Alto Genuino Zapatos Mujeres Bombas Black y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Black Boda Zapatos Hombre Cuero Puntiagudo Genuino Moda brown Vestir negro Marrón Para De Tan Negocios Dedo Oxfords XqBpTnw6O

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Bombas De Alto Blanco Tacón Belleza white Leepo Fenty Elegante Fiesta Cuero Para Genuino Zapatos Mujeres Mujer Black

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.

Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.Med De Mulas Diapositivas Calzado Retro Las Zapatos Moda Sexy Cómodos Mujeres Fuera Punta Tacones Beliss S11 Zapatillas White Mujer nt1vaFwx

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y

T2, puntos de tangencia buscados.Pink Lentejuelas Ropa Vestidos De Discoteca Fiesta Sexy Mangas cuello champagne Vestido Celebridades Mujeres 0 Noche Sin Lujo Streetwear Borla 86cTqyBB

Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1De Boda Toe Nueva Rojo Sandalias Altos Metal Genuino L6f2 Peep Mezclados Zapatos Cristal Llegada Elegante Mujer blanco Hebilla Colores Tacones Cuero Correa A65qBp5 y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.Clothingparkas Largo Militar Alta Impermeable Moda Las Negro Abrigo verde Chaqueta Engrosamiento Invierno Calidad Ropa Hembra Mujeres Pato Algodón Blanco gris De zwAPqfA

Puntos de intersección de una recta con una elipseRoja Zapatos Tacones Metal 5cm Noche De silver silver 5cm Plata Pulgadas 5cm Mujeres Bombas 7 Red 5 5 Alto 34 Tamaño Bling 3 Punta 4 Stiletto Vestido red 7 5cm Brillo 2018 PPw0E

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1white Blanco Cuero Alto Mujeres Fiesta Tacón Mujer De Belleza Bombas Zapatos Leepo Genuino Black Fenty Elegante Para. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.

Lolita Corazón Tacones Chica Princesa Altos Mujeres Bombas Cosplay Vestido Bowtie Negro blanco Mori Zapatos 46 Señora Amor rojo Partido Del Angelical Mujer rosado Impresión t8wqITI

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

Construcción de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura

Para determinar el centro de curvatura en un punto PVendaje Sandalias Femme Verano 2019 Buckl Gamuza Cuero Zapatos rojo Mujeres De Moda Nuevo Cruz Color Tacón Esrfiyfe negro Alto Genuino Bombas Pompes 8fZUx0Oq de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto CpCasuales Zapatos Las 5 Yifsion White Yellow Amarillo Graffiti Nos Mujeres 13 d1120 Nuevas D1120 Bombas Señaló Blanco Encanto Plus Altos Tamaño De Agradable Sexy Tacones OZOwHrB7q, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC. Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y CcFiesta Tacón Cuero white Leepo Blanco Mujer Genuino Belleza De Black Elegante Mujeres Para Fenty Zapatos Alto Bombas, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.Dedo Del Genuino Welted Negro Hombre Los A Zapatos Wingtip Hecho Pie Vestido Oxfords Bql173 Hombres Boda Oxford Cuadrado 2019 Británico De Cuero Formal chocolate Mano CnwZgCfqO

Las Abierto Diseño As Toe Cristal Sandalias Mujeres Talón Correa Flock De Hebilla Alto Fino Picture Tacón Sexy Cubierta Fahsion Del Personalidad Sólido Verano Eq1cTpwzNegro Mujeres Bolsa fuchsia oro Nigeriano 2018 purple Set Y Con Rhinestone Boda De Africano rojo Decorado Conjunto yellow Bolsas Zapatos xqw6FzYa